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人教版八年级数学经典题型展示 79  

2016-05-19 11:11:22|  分类: 经典数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题:“如图①,在正方形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD.你能够得出什么样的正确的结论?”
(1)小明经过研究发现:EF⊥AE.请你对小明所发现的结论加以证明;
(2)小明之后又继续对问题进行研究,将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”(如图②、图③、图④),其它条件均不变,认为仍然有“EF⊥AE”.你同意小明的观点吗?若你同意小明的观点,请取图③为例加以证明;若你不同意小明的观点,请说明理由.

人教版八年级数学经典题型展示  79 - 正本清源 - 正本清源

 

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(1)证明:如图①,延长AE交BC的延长线与点M.
∵在正方形ABCD中,AD∥BC,∠FAE=∠EAD,
∴∠DAM=∠M,
又∵DE=EC,∠AED=∠MEC,
∴△AED≌△MEC,
∴AE=EM,∠EAD=∠FAE=∠M,
∴AF=FM,
∴FE⊥AE.
(2)EF⊥AE仍然成立.理由如下:
如图③,延长AE交BC的延长线与点M,
∵在菱形ABCD中,AD∥BC,∠FAE=∠EAD,
∴∠DAM=∠M,
又∵DE=EC,∠AED=∠MEC,
∴△AED≌△MEC,
∴AE=EM,∠EAD=∠FAE=∠M,
∴AF=FM,
∴FE⊥AE.

 

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