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2015人教版八年级数学经典题型展示69  

2015-10-15 14:19:12|  分类: 八年级数学上 |  标签: |举报 |字号 订阅

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已知线段AC∥y轴,点B在第一象限,且AO平分∠BAC,AB交y轴于G,连OB、OC.

(1)判断△AOG的形状,并予以证明;

(2)若点B、C关于y轴对称,求证:AO⊥BO;

(3)在(2)的条件下若点M为OA上一点,且∠ACM=45°,BM交y轴于P。点B的坐标为(3,1),求点M的坐标

(1)等腰三角形;
证明:∵AC∥y轴,
∴∠CAO=∠AOG,
∵AO平分∠BAC,
∴∠CAO=∠GAO,
∴∠GAO=∠AOG,
∴AG=GO,
∴△AOG是等腰三角形;
(2)解法一:连接BC交y轴于K,过A作AN⊥y轴于N,

∵AC∥y轴,点B、C关于y轴对称,
∴AN=CK=BK,

∴△ANG≌△BKG,(AAS)
∴AG=BG,
∵AG=OG,(1)中已证,
∴AG=OG=BG,
∴∠BOG=∠OBG,∠OAG=∠AOG,
∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°,
∴∠AOG+∠BOG=90°,
∴AO⊥BO.

解法二:如图1,接连BC,过O作OE⊥AB于E,
∵B、C关于y轴对称,AC∥y轴,
∴AC⊥BC,
在Rt△COD和Rt△BOE中,∴△COD≌△BOE(HL),
∴∠DCO=∠EBO,
∴∠BAC+∠BOC=180°,
设∠BAO=∠CAO=x,∠OBC=∠OCB=y,
∴2x+∠BOC=180°,
又∵2y+∠BOC=180°,
∴x=y,故∠OAC=∠OBC,
∴∠AOB=∠ACB=90°,
∴AO⊥OB;

(3)如图2,连BC,作MF⊥x轴于F,BH⊥x轴于H,
则∠ACB=90°,
∵∠ACM=45°,
∴CM平分∠ACB,又AM平分∠BAC,
∴BM平分∠ABC,设∠ABM=∠CBM=z,
由(2)可得∠OMB=x+z,∠OBM=y+z=x+z
∴∠OMB=∠OBM,
∴OM=OB 

由(2)知:∠AOB=90°
∴△OBM为等腰直角三角形,
∴△OMF≌△OBH(AAS),
∴OF=BH=1,MF=OH=3,
∴M(-1,3).

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