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2015八年级数学经典题型展示73  

2015-11-16 15:24:45|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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24.(12分)如图1,A(-2,0),B(0,4),以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC.

(1)求C点的坐标;(3分)

(2)在坐标平面内是否存在一点P,使△PAB与△ABC全等?若存在,求出P点坐标,若不存在,请说明理由;(5分)

(3)如图2,点E为y轴正半轴上一动点,以E为直角顶点作等腰直角△AEM,过M作MN⊥x轴于N,求OE-MN的值.(4分)

 

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(1))作CE⊥y轴于E,证△CEB≌△BOA,推出CE=OB=4,BE=AO=2,即可得出答案;
(2)分为四种情况,画出符合条件的图形,构造直角三角形,证三角形全等,即可得出答案; 
(3)作MF⊥y轴于F,证△EFM≌△AOE,求出EF,即可得出答案.

 

 

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解:(1)作CE⊥y轴于E,如图1,
∵A(-2,0),B(0,4),
∴OA=2,OB=4,
∵∠CBA=90°,
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°,
∴∠ECB+∠EBC=90°,∠CBE+∠ABO=90°,
∴∠ECB=∠ABO,
在△CBE和△BAO中

∴△CBE≌△BAO,
∴CE=BO=4,BE=AO=2,
即OE=2+4=6,
∴C(-4,6).
(2)存在一点P,使△PAB与△ABC全等,
分为四种情况:①如图2,当P和C重合时,△PAB和△ABC全等,即此时P的坐标是(-4,6);
②如图3,过P作PE⊥x轴于E,
则∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°,

∴∠EPA+∠PAE=90°,∠PAE+∠BAO=90°,∴∠EPA=∠BAO,
在△PEA和△AOB中

∴△PEA≌△AOB,
∴PE=AO=2,EA=BO=4,∴OE=2+4=6,即P的坐标是(-6,2);

如图4,过C作CM⊥x轴于M,过P作PE⊥x轴于E,
则∠CMA=∠PEA=90°,∵△CBA≌△PBA,
∴∠PAB=∠CAB=45°,AC=AP,∴∠CAP=90°,
∴∠MCA+∠CAM=90°,∠CAM+∠PAE=90°,
∴∠MCA=∠PAE,
在△CMA和△AEP中

∴△CMA≌△AEP,∴PE=AM,CM=AE,∵C(-4,6),A(-2,0),∴PE=4-2=2,OE=AE-A0=6-2=4,
即P的坐标是(4,2);

如图5,过P作PE⊥x轴于E,
∵△CBA≌△PAB,∴AB=AP,∠CBA=∠BAP=90°,
则∠AEP=∠AOB=90°,∴∠BAO+∠PAE=90°,∠PAE+∠APE=90°,∴∠BAO=∠APE,
在△AOB和△PEA中

∴△AOB≌△PEA,∴PE=AO=2,AE=OB=4,∴0E=AE-AO=4-2=2,即P的坐标是(2,-2),
综合上述:符合条件的P的坐标是(-6,2)或(2,-2)或(4,2)或(-4,6).
(3)如图6,作MF⊥y轴于F,
则∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°,
∵∠AEO+∠MEF=90°,∠MEF+∠EMF=90°,∴∠AEO=∠EMF,
在△AOE和△EMF中

∴△AEO≌△EMF,∴EF=AO=2,MF=OE,∵MN⊥x轴,MF⊥y轴,
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°,∴四边形FONM是矩形,
∴MN=OF,
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2.  

 
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