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人教版八年级数学(四边形)经典题型展示  

2014-04-03 11:11:50|  分类: 经典数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点PPFCD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF
1)如图2,若点P在线段AO上(不与点AO重合),PEPBPECD于点E
求证:DF=EF
写出线段PCPACE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
2)若点P在线段OC上(不与点OC重合),PEPBPE交直线CD于点E.请完成图3并判断(1)中的结论是否分别成立?若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)

解:(1)如图2,延长FPAB于点Q

①∵AC是正方形ABCD对角线,

∴∠QAP=APQ=45°,

AQ=PQ

AB=QF

BQ=PF

PEPB

∴∠QPB+FPE=90°,

∵∠QBP+QPB=90°,

∴∠QBP=FPE

∵∠BQP=PFE=90°,

∴△BQP≌△PFE

QP=EF

AQ=DF

DF=EF

②如图2,过点PPGAD

PFCD,∠PCF=PAG=45°,

∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,

∵四边形DFPG为矩形,

PA=2 PGPC= 2 CF

PG=DFDF=EF

PA= 2EF

PC= 2CF= 2 CE+EF= 2 CE+ 2 EF= 2 CE+PA

PCPACE满足关系为:PC= 2 CE+PA

 

2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA-PC= 2 CE

如图3

①∵PBPEBCCE

BPCE四点共圆,

∴∠PEC=PBC

在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=PCD=45°(已证),PC边公共边,

∴△PBC≌△PDCSAS),

∴∠PBC=PDC

∴∠PEC=PDC

PFDE

DF=EF

②同理:PA= 2 PG= 2 DF= 2 EFPC= 2 CF

PA= 2 EF= 2 CE+CF= 2 CE+ 2 CF= 2 CE+PC

PCPACE满足关系为:PA-PC= 2 CE

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