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人教版八年级数学经典题型展示  

2014-01-10 11:34:04|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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八年级数学经典题型

在Rt△ABC中,AC=BC,P是BC中垂线MN上一动点,连结PA,交CB于E,F是点E关于MN的对称点,连结PF延长交AB于D,连结CD交PA于G.

(1)若P点移动到BC上时,如图(1)点P,E,F重合,若PD=a,CD=b,则AP=_______.(用含a,b的式子表示) ;

(2)若点P移动到BC的上方时,如图(2),其它条件不变,求证:CD⊥AE;

(3)若点P移动到△ABC的内时,其它条件不变,线段AE,CD,DE有什么确定的数量关系,请画出图形,并直接写出结论(不必证明).

(1)可通过构建全等三角形得出角相等来求证.要证AP=CD+PD,那么就要证出PH=PD,AH=CD,那么可构建与三角形BCD全等的三角形来求解.过C作∠BCA的平分线交AP于H,那么就是证三角形ACH和BDC全等,已知AC=BC,∠ACH=∠B=45°,只要证出CH=BD就能得出两三角形全等,那么我们可通过全等三角形CHE和BDF来求证.E,F重合,MN垂直平分BC,那么CP=PB,∠CPH=90-∠HPN=90°-∠NPD=∠DPB,而∠HCB=∠B=45°,由此可得出两三角形全等,也就得出了CH=BD,PH=PD进而得出AH=CD,这样就能得出AE=AH+PH=CD+PD=a+b;
(2)可通过构建全等三角形得出角相等来求证.要证CG⊥AP,那么就要证出∠BCD=∠CAH,那么可构建与三角形BCD全等的三角形来求解.过C作∠BCA的平分线交AP于H,那么就是证三角形ACH和BDC全等,已知AC=BC,∠ACH=∠B=45°,只要证出CH=BD就能得出两三角形全等,那么我们可通过全等三角形CHE和BDF来求证.由于E,F关于MN对称,那么CE=BF,PE=PF,可得出∠PEF=∠PFE,也就是∠CEH=∠DFB,又已知了∠HCB=∠B=45°,因此就能得出三角形CEH与DFB全等,就能得出CH=BD,也就能得出三角形AHC与三角形BDC全等了.进而可通过∠DCB=∠CAG来得出CG⊥AP;
(3)方法同(1)完全相同

解答:

解:(1)如图2,AP=a+b;

(2)证明:如图3,作∠ACB的角平分线交AP于H,
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点,E,F关于MN对称
∴CE=BF,PE=PF
∴∠PEF=∠PFE
∴∠CEH=∠BFD
∴△CEH≌△BFD
∴CH=BD
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE;
(3)如图1,AE=CD+DF.

 

 

 

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