注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

正本清源

寻找 备份 传承

 
 
 

日志

 
 

用几何变换证几何不等式  

2013-05-01 19:47:27|  分类: 教育教学 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

几何不等式指平面图形中所含线段长度、角的大小、周长、面积等所呈现的不等关系。求证几何不等式的常见思路是:适当运用几何变换,将欲证的不等量尽可能集中到一个三角形(或两个具有紧密关系的三角形)中,以便运用三角形的不等关系性质求证。

1.用平移变换证几何不等式

1.如图1,在等腰△ABC的一腰AB上取一点D,在另一腰AC的延长线上截取CE=BD,连接DE。求证:DEBC

分析:BCDE无法直接比较大小,设法将BCDE集中到同一个三角形中进行比较。

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

证明:作DEBC,且DE=BC。连CFEF。设DEBCG

四边形DBCF为平行四边形

∴∠DFC=B=ACB

CF=BD=CE

∴∠CEF=CFE

∵∠ACB为△GCE的外角,

ACB>∠CEG,∴∠DFC>∠CEG

∴∠DFC+CFE>∠CEG+CEF 即∠DFE>∠DEF

∴△DEF中,DEDF,即DEBC

2.如图2P为边长为1的等边三角形ABC内任意一点。设L=PA+PB+PC,求证:1.5L2

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

分析:在△PAB、△PBC、△PAC中,由“两边之和大于第三边”,易证L1.5;关键是如何证明L2

证明:⑴在△PAB、△PBC、△PAC中,分别有:

PA+PBAB ①;PB+PCBC ②;PA+PCAC

++③得 2PA+PB+PC)>AB+BC+AC

2L3,∴L1.5

⑵过PMNBC,交ABACMN

AMN为等边三角形,AM=MN=AN,∠AMN=ANM=60°

又∠APM为△APN外角,∠APM>∠ANM,∴∠APM>∠AMN

∴△APM中,PAAM

MBP、△NPC中,PBPM+BM ⑤;PCPN+CN

++⑥得,PA+PB+PCAM+PM+BM+PN+CN

AM+PM+BM+PN+CN= AM+BM+PM+PN+CN=AB+MN+CN

=AB+AN+CN=AB+AC=2

PA+PB+PC2,∴L2

由⑴⑵,1.5L2

思路点拨:利用平移将分算的条件集中在一个三角形中或两个有紧密关系的三角形中,然后可根据三角形中边、角不等关系证明相关的几何不等式。

2.用轴对称变换证几何不等式

3.如图3,在△ABC中,AB=ACBC的中点为DE为△ABD内任意一点,连接AEBECE。求证:∠AEB>∠AEC

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

分析:等腰三角形为轴对称图形,利用对称性将∠AEB、∠AEC集中到一个易讨论的图形中。

证明:作E关于AD的对称点E′,连接A E′、ECEE,并延长E E′交ACF

则有△AEB≌△AEC,∴∠AEB=AEC

AEF是△AEE′外角,∠AEF>∠AEE

FEC是△CEE′外角,∠FEC>∠CEE

∴∠AEF+FEC>∠AEE+CEE′,即∠AEC>∠AEC

∴∠AEB>∠AEC

4.如图4,在△ABC中,AE是∠A的外角平分线,D是这条平分线上的任一点,则AB+ACBD+DC之间的大小关系是:AB+AC BD+DC。(填>、=或<)

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

分析:利用角的平分线的对称性,构造全等化折为直。

证明:在BA的延长线上截取AC=AC,连DC′。

则△ACD≌△ACDSAS)∴DC=DC

BDC′中,BD+DC′>BC

BD+DCBC

BC=AB+AC= AB+AC

BD+DCAB+AC

5.设凸四边形ABCD的对角线相交于O,且ACBD,已知OAOCOBOD。求证:BC+ADAB+CD

分析:利用ACBD,设法将欲证的四个不等量集中起来。

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

证明:在OA上截取OC=OC,在OB上截取OD=OD,连BC′、AD′相交于P

则△COD′≌△CODSAS),∴CD=CD

由对称性AD=ADBC=BC

PAB中,PA+PBAB

PCD′中,PC+PD′>CD

+②得,(PB+ PC′)+PA+ PD′)>AB+ CD

BC+ AD′>AB+ CD BC+ADAB+CD

思路点拨:利用几何图形的对称性构造全等,转移分散的不等量而将这些不等量集中到同一个封闭图形中或有紧密关系的两个封闭图形中,即可利用三角形中的边角不等关系证相关的几何不等式。

3.用旋转变换证几何不等式

6.如图6,在△ABC中,∠BAC=120°,点P是△ABC内一点。求证:PA+PB+PCAB+AC

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

分析:要证的线段都不在一条直线上,由∠BAC=120°,联想到构造等边三角形,将其中一些线段化折为直。

证明:将△APCC点逆时针旋转60°至△APC′。连PP′、CC′。

APC≌△APC′,PC=PC

由旋转性质,△APP′、△ACC′为等边三角形

PA= PP′,AC= AC′,∠CAC=60°

∴∠B AC=BAC+CAC=180°,BAC′在一条直线上。

∵两点间线段最短

PB+ PP+ PC′>BC′,即PB+ PP+ PC′>AB+AC

PA+PB+PCAB+AC

7.如图7,设F是锐角△ABC内一点,使∠AFB=∠BFC=CFA=120°,而P是△ABC内任意一点。求证:PA+PB+PCFA+FB+FC

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

分析:利用120°旋转构造等边三角形,集中分散的不等量。

证明:将△ABF、△ABPB点依逆时针方向旋转60°,得到△ABF′、△ABP′。连FF′、PP′。

由旋转性质:

ABF≌△ABF′,△ABP≌△ABP

BPP′、△B FF′都是等边三角形。

AF= AF′,BF= BF= FFAP=APBP= PP

∴∠AFB=AFB=120°,∠BFF=∠B FF=60°

AFB+BFF=180°,∠BFC+B FF=180°

A′、F′、FC四点在一条直线上。

AC= AF+ FF+FC=AF+BF+CF

A′、C两点之间线段最短

AP+ PP+PCAC

PA+PB+PCFA+FB+FC

思路点拨:利用120°、60°、90°、45°角等特殊角,通过旋转变换构造等边三角形、等腰直角三角形等,是转移相等线段关系最重要的几何变换形式。通过旋转变换,将分散的条件集中起来,便于我们证明有关的几何不等式。

4用相似变换证几何不等式

8.如图8,若CD为△ABC的内角平分线。则:

用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源

ACD2CA·CB BCD2CA·CB

CCD2=CA·CB D)以上都有可能。

分析:求证线段乘积式的相等或不等关系,联想到相似三角形。利用角的平分线构造相似三角形。

证明:作∠CDE=A,交BCE

则△ACD∽△DCE用几何变换证几何不等式 - 正本清源 - 正本清源 CD2=CA·CE

CBCE,∴CD2CA·CB

思路点拨:求证线段乘积式的相等或不等关系,一般联想到相似三角形。利用利用已知条件构造与相关线段有关的相似三角形是解题的基本思路。除本例外,作平行线、作高是常见的辅助线。

  评论这张
 
阅读(130)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

在LOFTER的更多文章

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017