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八年级数学经典几何题展示  

2013-12-25 19:30:51|  分类: 经典数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.

八年级数学经典几何题展示 - 正本清源 - 正本清源

1)证明:∵菱形AFED,
∴AF=AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中

AB=AC    

∠BAD=∠CAF    

AD=AF    
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,
即①BD=CF,②AC=CF+CD.
(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD,
理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,
即∠BAD=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中

AC=AB    

∠BAD=∠CAF    

AD=AF    
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC,
即AC=CF-CD.
(3)AC=CD-CF.理由是:
∵∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠DAB=∠CAF,
在△BAD和△CAF中

AB=AC    

∠DAB=∠CAF    

AD=AF    
∴△BAD≌△CAF,
∴CF=BD,
∴CD-CF=CD-BD=BC=AC,
即AC=CD-CF.

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