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数学故事欣赏(1) 从“一道怪题”谈“无关”型问题  

2012-05-08 16:46:23|  分类: 数学故事 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在美国有一道叫做“国王是个小气鬼”的怪题:蓬蓬国王为了获得贫穷老百姓的支持,图一个“乐善好施”的好名声,决定施舍每个男人1美元,每个女人40美分(1美元等于100美分),但他又不想太破费.于是,这位陛下盘算来盘算去,最后想出了一个妙法,决定将他的直升飞机在正午12时在一个贫困的山村着陆.因为他十分清楚,在那个时候,村庄里有60%的男人都外出打猎去了.该村庄共有成年人口3085人,儿童忽略不计,女性比男性多.请问,这位“精打细算”的国王要施舍掉多少钱?

 

山村里究竟有多少男人,多少女人,题目没有说明,条件残缺不全,这道题能做吗?

 

假定村庄里有1000个男人,因为60%的人都打猎去了,所以国王只能碰到400个男人,再加上料理家务的2085个女人,所以国王要施舍的钱,应当是1×400+0.4×2085=400+834=1234(美元).如果村庄里只有500个男人,那么国王能碰到的男人只有500×(1-0.6)=200(),他的开销应是1×200+0.4×2585=1234(美元).假设这个村庄里一个男人也没有,国王碰到的全是女人,他的施舍支出竟然还是1234美元!三种情况下所得答数竟然完全一样!

 

这真是一道怪题!试试看用所学的整式知识能不能揭穿这道题的怪异之处.设村庄里有男人x人,那么女人有(3085-x)人,国王施舍的钱数为:(1-0.6)x+0.4(3085-x)=0.4x+1234-0.4x=1234(美元).原来国王施舍的钱数与村庄里的男人数无关!

 

上面的怪题实际是一道“无关”型问题.所谓“无关”型问题,就是某一整式的值与其所含字母或部分字母无关的问题,处理这类“无关”型的问题时,只要能灵活运用整式加减的运算法则,就能使问题正确获解.下面举例说明:

 

一、求值型

 

1  已知:A=2x2+3xy-2x-1B=-x2+xy-1,且3A+6B的值与x无关,求y的值.

 

解:因为3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)=15xy-6x-9=(15y-6)x-9

 

3A+6B的值与x无关,所以15y-6=0,即y=0.4

 

说明:如果已知式子与某个字母的取值无关,那么这个字母的系数为0,从而列出方程求解.

 

二、说理型

 

有这样一道数学题目a=2b=-2时,求多项式3a3b3-数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b+b-(4a3b3-数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b-b2)+(a3b3+数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b)-2b2+3的值,甲同学做题时把a=2抄错成a=-2,乙同学没抄错题,但他们得出的结果恰好一样,请问这是怎么回事儿?

 

解:因为3a3b3-数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b+b-(4a3b3-数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b-b2)+(a3b3+数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b)-2b2+3

 

=3a3b3-数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b+b-4a3b3+数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b+b2+a3b3+数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客a2b-2b2+3=-b2+b+3

 

可见含字母a的项都已消去,即这个多项式的值与a的取值无关

 

所以甲同学做题时把a=2抄错成a=-2,不会影响计算结果.

 

事实上,无论甲同学把a错抄成什么数,都不会影响计算结果.

 

说明:这种抄错数字又使结果正确的问题,通常情况下都说明原式的化简结果与这个字母的取值无关,或与抄错的数字符号无关(例设原式的化简结果是一个仅含有a2的式子)等等.

 

三、应用型

 

3  “蓝星电脑”店有A电脑和B电脑共120台,A电脑每台4000元,B电脑每台2520元.我市东坡中学购买了全部B电脑和部分A电脑.经过核算后发现应付款的总数与A电脑的数目无关.则购买部分A电脑数是A电脑总数的百分之几?各买了多少台?

 

解:“蓝星电脑”店有A电脑x台,则有B电脑(120-x)台,东坡中学购买了A电脑的a%,则应付总款为:4000·数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客·x+2520(120-x)

 

化简,得302400+(40a-2520)x

 

∵总付款与x无关,即x的系数应为0

 

所以40a-2520=0,解得a=63,即东坡中学购买了A电脑总数的63%

 

因为63% x为整数且0x120,所以x=10063%x=63%×100=63

 

120-x=120-100=20

 

所以东坡中学购买了A电脑的63%A电脑共有100台买了63台,B电脑买了20台.

 

说明:本题是一道“总值”与“某个量”无关的问题,与“某量”无关,设“某量”为数学故事欣赏(1) - yzq1343079 - yzq1343079的博客,合并同类项以后这个字母x的系数必为0

 

练习:1.如果关于字母x的二次多项式-3x2+mx+nx2-x+3的值与x的取值无关,则m=___n=___

 

2.在解题目“当x=0.28y=36时,求6(x2-xy+2y2)-3(2x2-2xy-1)-12y2+2008的值”时,聪聪认为xy只要任取一对值,原式都有相同的结果.你认为他说的有道理吗?请说明理由.

 

3为了鼓励在“我为玉树献爱心”的演讲比赛中获奖的同学,学校购买了甲、乙两种钢笔共35支,其中甲种钢笔每支24元,乙种钢笔每支10.20元,为了奖励各类竞赛的获胜者,把全部乙种钢笔和若干支甲种钢笔作为奖品发给学生,若发给学生奖品的钱数与学校购买的甲种钢笔总数目无关,那么甲、乙两种钢笔各买了多少支?实发了多少支?

 

答案:

 

1m=1n=3

 

2聪聪的说法有道理.原式的化简结果为2010,与xy的取值无关,因此xy只要任取一对值,原式的结果都相同.

 

3.甲种钢笔买了20支,实发了17支,乙种钢笔买了15支,实发了15支.

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