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分式方程检验“六招”  

2012-05-21 15:41:30|  分类: 教学一得 |  标签: |举报 |字号 订阅

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先看两道解分式方程的题目:

 (1)分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客(2)分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 解:(1)方程两边同乘以分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客解得x=3

 (2)方程两边同乘以分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客解得x=0

方程(1)中未知数的取值范围是分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,方程(2)中未知数的取值范围是分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客﹒在去分母将分式方程转化为整式方程后,未知数的取值范围扩大到了全体实数﹒这时,若所得整式方程的解不在扩大的部分,那么所得的解就是原分式方程的解,如方程(2)的解x=0;若整式方程的解恰好在扩大的部分,那么此解就是原分式方程的增根,如方程(1)的解x=3

 由此可见,增根是由于在分式方程转化为整式方程的变形过程中,未知数的取值范围扩大而导致的,这是增根产生的原因

 虽然在解分式方程时可能产生增根,但它可以通过“检验”找出来﹒那么如何对分式方程进行检验呢?下面向你介绍六招:

 第一招  代入验根法

 将所得的根代入原方程的左、右两边,若左边等于右边,则此根即为原方程的根,否则,此解为原方程的增根.

 1  方程分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客的解为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客__.

 解:方程两边同乘以分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客解得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

检验:把分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客代入原方程,得左边=分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客=分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,右边=分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客=分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 左边=右边,∴分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客原方程的解.

 点评:运用代入检验法,不仅能检验出原方程的增根,而且可以检验出求得的根是否正确

 第二招  比较检验法

 令分式方程中各分母等于零,求出使各分母为零的未知数的值,然后与所得的根进行比较,相同的即为原方程的增根,否则即为原方程的根﹒

 2  方程分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 解:方程两边同乘以分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 解得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 检验:令分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客=0,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客;令分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客=0,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 比较,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客是原方程的根

 点评:比较检验法适合所得根比较复杂的题型.

 第三招  公分母检验

 把解得的根代入所乘的最简公分母中进行判别,使公分母为零的值即为原方程的增根,否则即为原方程的根

 3 解方程分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 解:方程两边同乘以分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客解得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客代入分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客=10

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客是原方程的根.

 点评:公分母检验法比较简单,因此常被广泛地应用﹒

 第四招  检验

 虽然在解分式方程时可能产生增根,但对于某些特殊的分式方程,我们可以用合并法(把同分母分式合并),从而避免分式方程产生增根,因此用这种方法解分式方程无需验根﹒

 4 解分式方程分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,可知方程( )

 A.解为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客  B.解为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客  C.解为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客  D.无解

 解:原方程即分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,即1=8∴原分式方程无解.答案选D

 点评:本题若按常规方法会产生增根分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客.由于运用了合并法,从而避免了增根的产生,因此运用合并法解分式方程不需要检验.除了运用合并法可以避免分式方程产生增根外,还可运用换元法避免分式方程产生增根,如在解分式方程分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客时,若按常规方法会产生增根分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,若采用换元法,设分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,则分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客原方程可化为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客﹒即分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客0=-2∴原方程无解﹒

 第五招  根据取值范围检验法

 5  已知x为实数,且分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,那么分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客的值为( )

 A1  B-31  C3  D-13

 解:分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,原方程变形为分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客.解得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 经检验,分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客都是原方程的根.

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客不满足分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客满足分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客是原方程的根,故应选A

 点评:本题有意识地为同学们设置了一个“陷阱”,如果不注意分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客的值的范围,极易错选B,正中命题者的“陷阱”.

 第六招  根据题意检验法

 6  AB两地相距18千米,甲工程队要在AB两地间铺设一条输送天然气管道,乙工程队要在AB两地间铺设一条输油管道.已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1千米,甲工程队提前3周开工,结果两队同时完成任务,求甲、乙两工程队每周各铺设多少千米管道

 解:设甲工程队每周铺设管道x千米,则乙工程队每周铺设管道分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客千米.

 根据题意,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 方程两边同乘分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客

 整理,得分式方程检验“六招” - yzq1343079 - yzq1343079的博客.解得x=-2x=3

 经检验,x=-2x=3都是原方程的根.由于x表示甲工程队每周铺设管道的长度,不可能为负数,因此x=-2不合题意,所以x=3

 点评:解分式方程应用题要注意进行“双重”检验:不仅要对方程的解进行检验,还要对题意进行检验,看看方程的解是否符合问题的实际意义

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